Question

如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点（与点B、C不重合），连接AE交对角线BD于点F，AE的延长线与DC的延长线相交于点G，连接FC．求证：
（1）∠BEF=∠DCF；
（2）AF²=FE•FG．

Answer 1

分析：（1）利用已知首先证明△ADF≌△CDF，进而得出∠DAF=∠DCF，∠DAF=∠BEF，即可得出答案；
（2）利用已知首先得出∠CGE=∠FCE，进而证明△FCE∽△FGC，即可得出答案．

解答：解：（1）∵在正方形ABCD中，对角线BD，
∴∠BDA=∠BDC，
在△ADF与△CDF中，

AD=CD ∠BDA=∠BDC DF=DF

，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠DAF=∠DCF，
∵∠DAF=∠BEF，
∴∠BEF=∠DCF；

（2）∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠CGE，
∵∠BEF=∠DCF；
∵∠BAE=90°-∠DAF，∠FCE=90°-∠DCF，
∴∠BAE=∠FCE，
∴∠CGE=∠FCE，
∴△FCE∽△FGC，
∴

FC

EF

=

FG

FC

，
∵FC=AF，
∴AF²=FE•FG．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已得出∠CGE=∠FCE，进而得出△FCE∽△FGC是解决问题的关键．