Question

如图，已知抛物线L₁：y₁=

3

4

x²，平移后经过点A（-1，0），B（4，0）得到抛物线L₂，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L₂的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）点P为抛物线L₂上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L₁交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由于二次函数的二次项系数表示的是抛物线的开口大小和开口方向，在平移过程中，抛物线的形状没有发生变化，所以二次项系数仍为

3

4

，已知了平移后的抛物线经过x轴上的A、B两点，可由待定系数法求出平移后的抛物线解析式；
（2）由坐标轴上点的特征可得C（0，-3），根据两点间的距离公式得到AB，BC，AC的值，再根据等腰三角形的判定即可求解；
（3）可设P（a，

3

4

a²-

9

4

a-3），D（a，

3

4

a²），根据PD=2OC，列出方程即可求解．

解答：解：（1）设抛物线L₂的解析式为y=

3

4

x²+bx+c，经过点A（-1，0），B（4，0），根据题意，得

3 4 -b+c=0 12+4b+c=0

，
解得

b=- 9 4 c=-3

∴抛物线L₂的解析式为y=

3

4

x²-

9

4

x-3．

（2）△ABC的形状是等腰三角形．
理由：根据题意，得C（0，-3），
∵AB=4-（-1）=5，BC=

42+32

=5，AC=

12+32

=

10

，
∴△ABC的形状是等腰三角形．

（3）存在PD=2OC．
设P（a，

3

4

a²-

9

4

a-3），D（a，

3

4

a²），
根据题意，得PD=|

3

4

a²-

9

4

a-3-

3

4

a²|=|

9

4

a+3|，OC=3，
当|

9

4

a+3|=6时，解得a₁=

4

3

，a₂=-4．
∴P₁（

4

3

，

14

3

），P₂（-4，18）．

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及了二次函数图象的平移、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定以及两点间的距离等知识，综合性较强，难度中等．