Question

如图，?ABCD中，E为CD的中点，AH⊥BC于H，连接HE，∠DEH=3∠EHC．
（1）若∠EHC=55°，求C的度数；
（2）求证：AB=2AD．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）由∠DEH=3∠EHC，∠DEH=∠EHC+∠C，即可求得答案；
（2）首先取AB的中点为F，连接EF，FH，可证得四边形BCEF是平行四边形，△EFH是等腰三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得结论．

解答：（1）解：∵∠EHC=55°，
∴∠DEH=3∠EHC=165°，
∵∠DEH=∠EHC+∠C，
∴∠C=165°-55°=110°；

（2）证明：取AB的中点为F，连接EF，FH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵E为CD的中点，
∴EC∥FB，EC=FB，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴EF∥CD，EF=CD=AD，
∴∠FEH=∠EHC，
设∠EHC=x°，则∠FEH=x°，
∵AH⊥BC，
∴∠EHA=90°-∠EHC=90°-x°，
∵∠DEH=3∠EHC=∠EHC+∠C，
∴∠C=2∠EHC=2x°，
∴∠B=180°-∠C=2x°，
∵AF=BF=FH，
∴∠FHB=∠B=180°-2x°，
∴∠AHF=90°-∠FHB=2x°-90°，
∴∠EHF=∠EHA+∠AHF=x°，
∴∠FEH=∠EHF，
∴FH=EF，
∴FH=AD，
∴AB=2FH=2AD．

点评：此题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．