Question

17．直线y=$\frac{2}{3}x$与双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若点A为直线y=$\frac{2}{3}x$在第一象限上的一点，且不与点D重合，过A作坐标轴的平行线交双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）于B、C，试比较AB与AC的大小；
（3）在（2）的条件下，连接DB，DC，求$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$的值．

Answer 1

分析 （1）解方程组即可得到结果；
（2）设A（m，$\frac{2}{3}$m），则B（m，$\frac{6}{m}$），C（$\frac{9}{m}$，$\frac{2}{3}$m），得到AB=|$\frac{6}{m}$-$\frac{2}{3}$m|，AC=|$\frac{9}{m}$-m|，①当0＜m＜3时，②当m＞3时，求得AB，AC，于是得到结论；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$（舍去负值），
∴点D的坐标为（3，2）；
（2）设A（m，$\frac{2}{3}$m），则B（m，$\frac{6}{m}$），C（$\frac{9}{m}$，$\frac{2}{3}$m），
∴AB=|$\frac{6}{m}$-$\frac{2}{3}$m|，AC=|$\frac{9}{m}$-m|，
①当0＜m＜3时，AB-AC=$\frac{6}{m}$-$\frac{2}{3}$m-$\frac{9}{m}$+m=$\frac{m}{3}$-$\frac{3}{m}$=$\frac{{m}^{2}-9}{3m}$＜0，∴AB＜AC；
②当m＞3时，AB=$\frac{2}{3}$m-$\frac{6}{m}$，AC=m-$\frac{9}{m}$，
∴AB-AC=$\frac{2}{3}$m-$\frac{6}{m}$-m+$\frac{9}{m}$=$\frac{{m}^{2}+3}{3m}$＞0，
∴AB＞AC；
（3）$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{AB•（3-m）}{AC•（2-\frac{2}{3}m）}$=$\frac{（\frac{6}{m}-\frac{2}{3}m）（3-m）}{（\frac{9}{m}-m）（2-\frac{2}{3}m）}$=1．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，比较线段的大小，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．