Question

12．如图，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．
（1）如图1，若∠A=50°．求∠G的度数；
（2）如图2，连接FE，若∠DFE=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠G．求证：FE∥AD．

Answer 1

分析 （1）在图中添上点M，由DE∥BC结合外角的性质可得出∠ADE=∠A+∠ABC，再根据角平分线的性质可得出∠GDE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），由此可得出∠GFM=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=∠GBF+∠G，从而得出∠G=$\frac{1}{2}$∠A，根据∠A的度数即可得出结论；
（2）由（1）可得知：∠CDF=∠GDE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），∠G=$\frac{1}{2}$∠A，再结合已知∠DFE=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠G，即可得出∠DFE=∠CDF，根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”即可证出FE∥AD．

解答 （1）解：在BF延长线上标上点M，如图所示．

∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ACF=∠A+∠ABC，∠GFM=∠GDE．
∵DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，
∴∠GDE=$\frac{1}{2}$∠ACF=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），∠GBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠GFM=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=∠GBF+∠G，
∴∠G=$\frac{1}{2}$∠A=25°．
（2）证明：由（1）知：∠CDF=∠GDE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），∠G=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠DFE=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠G=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=∠CDF，
∴FE∥AD．

点评 本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）求出∠G=$\frac{1}{2}$∠A；（2）通过角的计算找出∠DFE=∠CDF．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．