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【题目】如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合,在移动过程中,边AD始终与边FG重合,连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH的边FG,GH的长分别为4cm,3cm,设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中0≤x≤2.5.
(1)试求出y关于x的函数关系式,并求当y=3时相应x的值;
(2)记△DGP的面积为S1 , △CDG的面积为S2 . 试说明S1﹣S2是常数;
(3)当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.

【答案】
(1)解:∵CG∥AP,

∴∠CGD=∠GAP,

又∵∠CDG=∠AGP,

∴△GCD∽△APG,

∵GF=4,CD=DA=1,AF=x,

∴GD=3﹣x,AG=4﹣x,

= ,即y=

∴y关于x的函数关系式为y=

当y=3时, =3,解得x=2.5,

经检验的x=2.5是分式方程的根.

故x的值为2.5


(2)解:∵S1= GPGD= (3﹣x)= (cm2),

S2= GDCD= (3﹣x)×1= (cm2),

∴S1﹣S2= = (cm2),即为常数


(3)解:延长PD交AC于点Q.

∵正方形ABCD中,AC为对角线,

∴∠CAD=45°,

∵PQ⊥AC,

∴∠ADQ=45°,

∴∠GDP=∠ADQ=45°.

∴△DGP是等腰直角三角形,则GD=GP,

∴3﹣x=

化简得:x2﹣5x+5=0.

解得:x=

∵0≤x≤2.5,

∴x=

在Rt△DGP中,PD= = (3﹣x)= (cm)


【解析】(1)根据题意表示出AG、GD的长度,再由△GCD∽△APG,利用对应边成比例可解出x的值.(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S , 然后作差即可.(3)延长PD交AC于点Q,然后判断△DGP是等腰直角三角形,从而结合x的范围得出x的值,在Rt△DGP中,解直角三角形可得出PD的长度.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用等腰直角三角形和矩形的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°;矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等.

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(1)若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控,则雷达的有效探测半径r至少为多少海里?
(2)现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域,在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上,同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上,求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里?
(3)若敌舰A沿最短距离的路线以20 海里/小时的速度靠近△OBC海域,我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截,问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?

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打字数/个

50

51

59

62

64

66

69

人数

1

2

8

11

5

将这些数据按组距5(个字)分组,绘制成如图的频数分布直方图(不完整).
(1)将表中空缺的数据填写完整,并补全频数分布直方图;
(2)这个班同学这次打字成绩的众数是个,平均数是个.

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(1)12×(﹣ )+8×22﹣(﹣1)2
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(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2
(3)点C1的坐标是;点C2的坐标是;过C、C1、C2三点的圆的圆弧 的长是(保留π).

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(1)这次抽样调查的样本容量是
(2)根据小组60≤x<90的组中值75,估计该组中所有数据的和为
(3)该中学共有1000名学生,估计双休日两天有多少名学生家务劳动的时间不小于90分钟?

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