【题目】如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合,在移动过程中,边AD始终与边FG重合,连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH的边FG,GH的长分别为4cm,3cm,设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中0≤x≤2.5.
(1)试求出y关于x的函数关系式,并求当y=3时相应x的值;
(2)记△DGP的面积为S1 , △CDG的面积为S2 . 试说明S1﹣S2是常数;
(3)当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.
【答案】
(1)解:∵CG∥AP,
∴∠CGD=∠GAP,
又∵∠CDG=∠AGP,
∴△GCD∽△APG,
∴ ,
∵GF=4,CD=DA=1,AF=x,
∴GD=3﹣x,AG=4﹣x,
∴ = ,即y= ,
∴y关于x的函数关系式为y= ,
当y=3时, =3,解得x=2.5,
经检验的x=2.5是分式方程的根.
故x的值为2.5
(2)解:∵S1= GPGD= (3﹣x)= (cm2),
S2= GDCD= (3﹣x)×1= (cm2),
∴S1﹣S2= ﹣ = (cm2),即为常数
(3)解:延长PD交AC于点Q.
∵正方形ABCD中,AC为对角线,
∴∠CAD=45°,
∵PQ⊥AC,
∴∠ADQ=45°,
∴∠GDP=∠ADQ=45°.
∴△DGP是等腰直角三角形,则GD=GP,
∴3﹣x= ,
化简得:x2﹣5x+5=0.
解得:x= ,
∵0≤x≤2.5,
∴x= ,
在Rt△DGP中,PD= = (3﹣x)= (cm)
【解析】(1)根据题意表示出AG、GD的长度,再由△GCD∽△APG,利用对应边成比例可解出x的值.(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S
【考点精析】根据题目的已知条件,利用等腰直角三角形和矩形的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°;矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等.
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【题目】在某次海上军事学习期间,我军为确保△OBC海域内的安全,特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域,在雷达显示图上,军舰B在军舰O的正东方向80海里处,军舰C在军舰B的正北方向60海里处,三艘军舰上装载有相同的探测雷达,雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域.(只考虑在海平面上的探测)
(1)若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控,则雷达的有效探测半径r至少为多少海里?
(2)现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域,在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上,同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上,求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里?
(3)若敌舰A沿最短距离的路线以20 海里/小时的速度靠近△OBC海域,我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截,问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?
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【题目】初三(1)班共有40名同学,在一次30秒打字速度测试中他们的成绩统计如表:
打字数/个 | 50 | 51 | 59 | 62 | 64 | 66 | 69 |
人数 | 1 | 2 | 8 | 11 | 5 |
将这些数据按组距5(个字)分组,绘制成如图的频数分布直方图(不完整).
(1)将表中空缺的数据填写完整,并补全频数分布直方图;
(2)这个班同学这次打字成绩的众数是个,平均数是个.
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【题目】如图①,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=60°,动点P从A点出发,以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动,直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S(单位:cm2)与点P移动的时间(单位:s)的函数如图②所示,则点P从开始移动到停止移动一共用了秒(结果保留根号).
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【题目】如图,在正方形网格中,△ABC各顶点都在格点上,点A,C的坐标分别为(﹣5,1)、(﹣1,4),结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2;
(3)点C1的坐标是;点C2的坐标是;过C、C1、C2三点的圆的圆弧 的长是(保留π).
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【题目】为了了解学生参加家务劳动的情况,某中学随机抽取部分学生,统计他们双休日两天家务劳动的时间,将统计的劳动时间(单位:分钟)分成5组:30≤x<60,60≤x<90,90≤x<120,120≤x<150,150≤x<180,绘制成频数分布直方图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)这次抽样调查的样本容量是;
(2)根据小组60≤x<90的组中值75,估计该组中所有数据的和为;
(3)该中学共有1000名学生,估计双休日两天有多少名学生家务劳动的时间不小于90分钟?
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【题目】看图说故事. 请你编写一个故事,使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系,要求:
(1)指出变量x和y的含义;
(2)利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义,其中须涉及“速度”这个量.
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【题目】星期六,小亮从家里骑自行车到同学家去玩,然后返回,图是他离家的路程y(千米)与时间x(分钟)的函数图象,根据图象信息,下列说法不一定正确的是( )
A.小亮到同学家的路程是3千米
B.小亮在同学家逗留的时间是1小时
C.小亮去时走上坡路,回家时走下坡路
D.小亮回家时用的时间比去时用的时间少
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