Question

已知a，b，c是正实数，抛物线y=x²-2ax+b²交x轴于M，N两点，交y轴于点P，其中点M坐标为（a+c，0）
（1）求证b²+c²=a²；
（2）△NMP的面积是△NOP的面积的3倍，求的值；
（3）是否存在这样的正实数a，b，c，使得∠OPN=∠NMP=30°？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）把x=a+c，y=0代入y=x²-2ax+b²，
得（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，
整理，得b²+c²=a²；

（2）∵抛物线y=x²-2ax+b²的对称轴是x=a，
∴抛物线y=x²-2ax+b²与x轴的交点M，N一定关于对称轴对称，a-c
∵点M坐标为（a+c，0），
∴N的坐标是（a-c，0）．
抛物线y=x²-2ax+b²中，令x=0，解得y=b²，
∴点P的坐标是（0，b²）．
∵△NMP的面积是MN×OP=×2c×b²=b²c，
△NOP的面积是×ON×OP=|a-c|×b²，
又∵△NMP的面积是△NOP的面积的3倍，
∴b²c=3×|a-c|×b²，
∴2c=3|a-c|，
∵b²+c²=a²，a、b、c是正实数，
∴a＞c，
∴2c=3（a-c），即3a=5c，
设a=5k，则c=3k，
根据b²+c²=a²，得到b=4k，
∴==；

（3）假设存在正实数a，b，c，使得∠OPN=∠NMP=30°．
则有：，
解得．
故存在正实数a，b，c，能够使得∠OPN=∠NMP=30°．
分析：（1）抛物线y=x²-2ax+b²经过点（a+c，0）．因而把x=a+c，y=0代入就可以得到（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，整理得到b²+c²=a²；
（2）已知抛物线的解析式，就可以求出对称轴，可求N、P的坐标，从而△NMP的面积和△NOP的面积可求，再根据△NMP的面积是△NOP的面积的3倍，可得2c=3|a-c|，即3a=5c，则的值易求；
（3）假设存在正实数a，b，c，使得∠OPN=∠NMP=30°，则在直角△OPN中，由tan∠OPN=，得出=①，同理，在直角△OPM中，由tan∠NMP=，得出=②，又由（1）可知b²+c²=a²③，①②③联立，得到方程组，解此方程组即可求解．
点评：本题主要考查了二次函数的性质，三角形的面积，三角函数等知识．运用数形结合思想与方程思想是解决本题的关键．