Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足是D．求证：
（1）∠ACD=∠ABC；
（2）AC平分∠DAB．

Answer 1

分析：（1）连接OC，易得OC∥AD，根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO，再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO，因为∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，
所以∠ACD=∠ABC；
（2）连接OC，易得OC∥AD，根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO，再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO，就可以证出结论．

解答：证明：（1）连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，
∴∠ACD=∠ABC；
证明：（2）连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．

点评：本题主要考查了切线的判定定理，常用辅助线是连接过切点的半径，利用切线的性质解决问题．