Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．

 

（1）求∠OBC的度数；

（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S_△OCE=S_{四边形OCDB}，求此时P点的坐标；

（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．

Answer 1

解：（1）∵y=x²﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+2），

∴由题意得，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4）．

在Rt△OBC中，

∵OC=OB=3，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°．

（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于H，此时S_{四边形OCDB}=S_梯形OCDH+S_△HBD，

∵OH=1，OC=3，HD=4，HB=2，

∴S_梯形OCDH=•（OC+HD）•OH=，S_△HBD=•HD•HB=4，

∴S_{四边形OCDB}=．

∴S_△OCE=S_{四边形OCDB}==，

∴OE=5，

∴E（5，0）．

设l_DE：y=kx+b，

∵D（1，﹣4），E（5，0），

∴，

解得，

∴l_DE：y=x﹣5．

∵DE交抛物线于P，设P（x，y），

∴x²﹣2x﹣3=x﹣5，

解得 x=2 或x=1（D点，舍去），

∴x_P=2，代入l_DE：y=x﹣5，

∴P（2，﹣3）．

（3）如图2，

设l_BC：y=kx+b，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴，

解得 ，

∴l_BC：y=x﹣3．

∵F在BC上，

∴y_F=x_F﹣3，

∵P在抛物线上，

∴y_P=x_P²﹣2x_P﹣3，

∴线段PF长度=y_F﹣y_P=x_F﹣3﹣（x_P²﹣2x_P﹣3），

∵x_P=x_F，

∴线段PF长度=﹣x_P²+3x_P=﹣（x_P﹣）²+，（1＜x_P≤3），

∴当x_P=时，线段PF长度最大为．