Question

设△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b是方程x²-（c+2）x+2（c+1）=0的两个实数根．
（1）判断△ABC是否为直角三角形？是说明理由．
（2）若△ABC是等腰三角形，求a，b，c的值．

Answer 1

解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：
根据题意得a+b=c+2，ab=2（c+1）=2c+2，
∴（a+b）²=（c+2）²，即a²+2ab+b²=c²+4c+4，
∴a²+4c+4+b²=c²+4c+4，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形；
（2）∵△ABC是等腰三角形，
∴a=b，且c=a，
∴a+a=a+2，
∴a=2+，
∴b=2+，
c=2+2．
分析：（1）根据根与系数的关系得到a+b=c+2，ab=2（c+1）=2c+2，把第一个等式两边平方，整理可得到a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以c为斜边的直角三角形；
（2）由于△ABC是等腰直角三角形，则a=b，且c=a，利用a+b=c+2可计算出a，于是可得到b、c的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了勾股定理的逆定理和等腰直角三角形性质．