Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，若CF⊥AD．
（1）问图中全等的三角形有几对？请你写出全等的三角形，并选出一对说明理由；
（2）求出∠C的度数，并说明理由．

Answer 1

解：（1）△AOF≌△COE，△CDF≌△AED--（4分）
证明：△AOF≌△COE．
∵AB⊥CD，CF⊥AD，
∴∠CEO=∠AFO=90°；又∠COE=∠AOF（对顶角相等），
∴∠C=∠A（等角的余角相等）；
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA）；

（2）30°．
证明：在△AOF和△COE中，
∠AFO=∠CEO=90°，
∠AOF=∠COE，所以∠A=∠C，（1分）
连接OD，则∠A=∠ODA，∠C=∠ODC，（2分）
所以∠A=∠ODA=∠ODC=∠C，（3分）
因为∠A+∠ODA+∠ODC=90°，
所以∠C=30°．（4分）
分析：（1）△AOF≌△COE（ASA），△CDF≌△AED（ASA）；
（2）⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，则CD=2CE；在直角△OEC中，易证∠C=30°．
点评：此题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定．根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答（2）题的关键．