Question

如图，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要截成一矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N在AB、BC、CD上，设MN的长为x，矩形MPCN的面积为y．
（1）求y与x之间的关系式，并指出x的取值范围．
（2）当x为何值时，矩形MPCN的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）过A作BC的垂线，垂足是E，则△AEB∽△MPB，根据相似三角形的对应边的比相等，即可用x表示出PB的长，进而求得CP，则函数解析式即可求解；
（2）根据所有的函数解析式是二次函数，利用二次函数的性质即可求解．

解答：解：（1）过A作BC的垂线，垂足是E．
又∵MP⊥BC
∴AE∥MP
∴△AEB∽△MPB
∴

AE

MP

=

BE

PB

即

6

MP

=

5

8-x

，解得：MP=

48-6x

5

则y=x（

48-6x

5

）=-

6

5

x²+

48

5

x （3＜x≤6）；

（2）∵y=-

6

5

x²+

48

5

x=-

6

5

（x²-8x+16-16）=-

6

5

（x-4）²+

96

5

，
∴当x=4时，有最大面积为：

96

5

．

点评：本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，是二次函数与相似三角形相结合的题目，把求面积的最值的问题通过二次函数的性质转化为函数的最值问题．