Question

5．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值．

Answer 1

分析 （1）根据AD是△ABC的角平分线得出∠1=∠2，由三角形外角的性质可知∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，故可得出∠ADE=∠DAE，所以ED=EA，由圆周角定理得出EF⊥AD，根据等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）连接DM，设EF=4k，DF=3k，根据勾股定理得出DE的长，根据$\frac{1}{2}$AD•EF=$\frac{1}{2}$AE•DM得出DM的长，由勾股定理得出ME的长，根据cos∠AED=$\frac{ME}{DE}$即可得出结论；

解答 （1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴点F是AD的中点；

（2）解：连接DM，设EF=4k，DF=3k，则ED=$\sqrt{E{F^2}+D{F^2}}$=5k
∵$\frac{1}{2}$AD•EF=$\frac{1}{2}$AE•DM，
∴DM=$\frac{AD•EF}{AE}$=$\frac{6k•4k}{5k}$=$\frac{24k}{5}$，
∴ME=$\sqrt{D{E^2}-D{M^2}}$=$\frac{7}{5}$k
∴cos∠AED=$\frac{ME}{DE}$=$\frac{7}{25}$

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到角平分线的定义、圆周角定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．