Question

17．己知二次函数y₁=ax²（a＞0）过（-1，1）点且其图象与y₂=bx（b不为零之常数）交于两点，当x＜-1或x＞0时，y₁＞y₂；当-1＜x＜0时，y₁＜y₂，反比例函数y₃=$\frac{c}{x}$与y₂=bx的两个交点的距离为8，分别求y₁，y₂，y₃的表达式．

Answer 1

分析 先利用待定系数法求二次函数y₁的表达式，再根据“当x＜-1或x＞0时，y₁＞y₂；当-1＜x＜0时，y₁＜y₂”得y₁与y₂交点为（-1，1），代入可求出y₂的表达式；因为正比例函数和反比例函数的两交点关于原点对称，得OA=4，因为y₂=-x，说明此直线是二、四象限的角平分线，所以△AOC是等腰直角三角形，从而可求出点A的坐标，并求出y₃的表达式．

解答 解：如图，
把（-1，1）代入y₁=ax²中得：a=1，
∴y₁=x²，
由题意得：y₁与y₂交于（-1，1），
把（-1，1）代入y₂=bx中得：-b=1，
b=-1，
∴y₂=-x，
设y₃与y₂的两个交点分别为A、B，过A作AC⊥x轴于C，
则OA=OB，
∵AB=8，
∴OA=4，
∵△AOC是等腰直角三角形，
∴AO=$\sqrt{2}$OC，
∴OC=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴A（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
∴c=-2$\sqrt{2}$×$2\sqrt{2}$=-8，
∴y₃=-$\frac{8}{x}$．

点评 本题是二次函数、反比例函数和正比例函数图象的综合题，考查了利用待定系数法求各函数的表达式，同时，图象与已知相结合，理解“当x＜-1或x＞0时，y₁＞y₂；当-1＜x＜0时，y₁＜y₂，”的含义，分别找出或计算三个函数图象上任一点的坐标，从而求出各表达式．