Question

如图1，四边形ABCD是边长为5的正方形，以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．抛物线y=ax²经过A，O，D三点，图2和图3是把一些这样的小正方形及其内部的抛物线部分经过平移和对称变换得到的．
（1）求a的值；
（2）求图2中矩形EFGH的面积；
（3）求图3中正方形PQRS的面积．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式即可求得a的值；
（2）根据图形分析得：正方形IJKL沿射线JU方向平行移动15个单位长度与正方形MNUT重合，由平行移动的性质可知EH=15，同理可得EF=10，可得矩形的面积；
（3）建立直角坐标系，设的点的坐标，根据抛物线与正方形的对称性列方程求得即可．

解答：解：（1）根据题意得点D的坐标为（

5

2

，5）．
把点D（

5

2

，5）代入y=ax²，
得a=

4

5

．（3分）

（2）如图1，根据题意得正方形IJKL沿射线JU方向平行移动15个单位长度与正方形MNUT重合，由平行移动的性质可知EH=15．
同理可得EF=10．
∴S_矩形EFGH=15×10=150．（6分）
（本问只要写出正确结果便可得3分）

（3）如图2，建立平面直角坐标系，
设Q点坐标为（m，

4

5

m²），其中m＜0．
由抛物线、正方形的对称性可得ZQ=VQ．
∴

5

2

-m=5-

4

5

m2．
解得m1=-

5

4

，m2=

5

2

（舍去）．
∴点Q坐标为（-

5

4

，

5

4

）．（8分）
∴RQ=2[

5

2

-(-

5

4

)]=

15

2

（9分）
∴S_{正方形PQRS}=RQ²=(

15

2

)2=

225

4

．（10分）

点评：此题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是要注意数形结合思想的应用，特别是要注意二次函数的对称性以及方程思想的应用．