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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B，点B的坐标为（10，0），顶点M的坐标为（4，8），点P从点M出发，以每秒1个单位的速度沿线段MA向A点运动；点Q从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向B精英家教网点运动，若P、Q同时出发，当其中的一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒钟．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）设△APQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，△APQ的面积是否有最大值？若有，请求出其最大值；若没有，请说明理由；
    （3）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？
    分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+8，把B（10，0）代入得，求得a的值，即得到抛物线的解析式；
    （2）先根据抛物线的对称性得到A的坐标为（-2，0），过M作MC⊥x轴于点C，过P作⊥x轴于点H，则AC=6，MC=8，AM=10，
    利用△PAH∽△MAC，得到PH=8-
    4
    5
    t    ，所以s=
    1
    2
    ×2t×(8-
    4
    5
    t)=-
    4
    5
    t2+8t    （0≤t≤6），利用二次函数的最大值问题即可得到当t=5时，s有最大值为20．
    （3）分类讨论：当AP=AQ时，t=
    10
    3
    ；当AP=PQ时，t=
    15
    4
    ；当AQ=PQ时，t=
    50
    17
    ．
    解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+8，把B（10，0）代入得，
    36a+8=0，解得a=-
    2
    9
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=-
    2
    9
    (x-4)2+8    ；

    （2）由抛物线的对称性可知点A的坐标为（-2，0），过M作MC⊥x轴于点C，过P作⊥x轴于点H，则AC=6，MC=8，AM=10，精英家教网
    ∵△PAH∽△MAC得，
    PH
    MC
    =
    AP
    AM
    ，
    PH
    8
    =
    10-t
    10
    ，解得PH=8-
    4
    5
    t    ，
    ∴s=
    1
    2
    ×2t×(8-
    4
    5
    t)=-
    4
    5
    t2+8t    （0≤t≤6），
    ∵a=-
    4
    5
    ＜0，
    ∴s有最大值，当t=-
    8
    2×(-
    4
    5
    )
    =5时，s有最大值为20；

    （3）由（2）得AP=10-t，PH=8-
    4
    5
    t，AQ=2t，
    由△PAH∽△MAC得AH：AC=AP：AM，即AH：6=（10-t）：10，AH=
    3
    5
    （10-t），
    ∴QH=2t-AH=
    13
    5
    t-6，PQ=
    		PH2+QH2
    ，
    当AP=AQ时，t=
    10
    3
    ；
    当AP=PQ时，t=
    15
    4
    ；
    当AQ=PQ时，t=
    50
    17
    ．
    点评：本题考查了抛物线的顶点式和抛物线的对称性；也考查了三角形相似的判定与性质和三角形的面积公式以及分类讨论思想的运用．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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