Question

（2013•沙河口区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点M在AB边上以1单位长度/秒的速度从点A向点B运动，运动到点B时停止．连接CM，将△ACM沿着CM对折，点A的对称点为点A′．
（1）当CM与AB垂直时，求点M运动的时间；
（2）当点A′落在△ABC的一边上时，求点M运动的时间．

Answer 1

分析：（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，CM与AB垂直，易证得△ACM∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AM的长，即可得点M运动的时间；
（2）分别从当点A′落在AB上时与当点A′落在BC上时去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB，
∴∠A=∠A，∠AMC=∠ACB=90°，
∴△ACM∽△ABC，
∴

AC

AB

=

AM

AC

，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5，
∴AM=

AC2

AB

=

9

5

，
∴点M运动的时间为：

9

5

；

（2）①如图1，当点A′落在AB上时，
此时CM⊥AB，
则点M运动的时间为：

9

5

；
②如图2，当点A′落到BC上时，CM是∠ACB平分线，
过点M作ME⊥BC于点E，作MF⊥AC于点F，
∴ME=MF，
∵S_△ABC=S_△ACM+S_△BCM，
∴

1

2

AC•BC=

1

2

AC•MF+

1

2

BC•ME，
∴

1

2

×3×4=

1

2

×3×MF+

1

2

×4×MF，
解得：MF=

12

7

，
∵∠C=90°，
∴MF∥BC，
∴△AMF∽△ABC，
∴

MF

BC

=

AM

AB

，
即

12 7

4

=

AM

5

，
解得：AM=

15

7

，
综上可得：当点A′落在△ABC的一边上时，点M运动的时间为：

9

5

或

15

7

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．