如图甲.四边形OABC的边OA.OC分别在x轴.y轴的正半轴上.顶点在B点的抛物线交x轴于点A.D.交y轴于点E.连结AB.AE.BE．已知tan∠CBE＝.A(3.0).D.E(0.3)． (1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标, (2)求证:CB是△ABE外接圆的切线, (3)试探究坐标轴上是否存在一点P.使以D.E.P为顶点的三角形与△ABE相似.若存在.直接写出点P的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE＝，A(3，0)，D(－1，0)，E(0，3)．

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

(1)解：由题意，设抛物线解析式为y＝a(x－3)(x＋1)．

将E(0，3)代入上式，解得：a＝－1．

∴y＝－x²＋2x＋3．

则点B(1，4)．

(2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)．

在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，

∴∠1＝∠2＝45°，AE＝＝3．

在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM，

∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE＝＝．

∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°．

∴AB是△ABE外接圆的直径．

在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝＝tan∠CBE，

∴∠BAE＝∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°．

∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圆的切线

(3)P₁(0，0)，P₂(9，0)，P₃(0，－)．

(4)解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b．

将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得

∴y＝－2x＋6．

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝，∴F(，3)．

情况一：如图7，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．

则ON＝AD＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．

由△AHD∽△FHM，得．即．解得HK＝2t．

∴S_阴＝S_△MND－S_△GNA－S_△HAD＝×3×3－(3－t)²－t·2t＝－t²＋3t．

情况二：如图8，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得．即．解得IQ＝2(3－t)．

∴S_阴＝S_△IQA－S_△VQA＝×(3－t)×2(3－t)－(3－t)²＝(3－t)²＝t²－3t＋．

综上所述：s＝

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