Question

在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：BE=BF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数．

Answer 1

（1）证明：在Rt△ABE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=BF；

（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=45°-30°=15°，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠BCA=15°+45°=60°．
分析：（1）可根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△ADF，则可得到BE=BF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC=∠BCA=45°，可得到∠BAE=15°，再根据Rt△ABE≌Rt△ADF得到∠BCF=∠BAE=15°，然后根据∠ACF=∠BCF+∠BCA进行计算．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．