Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t（0＜t≤4）．
（1）写出△PBQ的面积S（cm²）与时间t（s）之间的函数表达式，当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（3）△PBQ能否成为等边三角形？若能，求t的值；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）如图1，自点P向BC引垂线，垂足为M，则PM∥DC，
∴．
∵DC=AB=3，BC=4，
∴BD==5．
当P，Q运动t秒后，
DP=BQ=1•t=t，BP=5-t．
∴PM=．
∴S_△PBQ=•BQ•PM=•t•=-（t-）²+．
∵0＜t≤4，
∴当t=时，S取得最大值，最大值为．

（2）若△BPQ是等腰三角形．
①如图2，当PB=PQ时，自点P向BC引垂线，垂足为M，则有BM=MQ．
方法一：
由△BMP∽△BCD，得，
∴BM=．
∴，
解得．
方法二：
在Rt△BMP中，BP=5-t，BM=，cos∠DBC=．
∴，
解得t=．
②当BQ=BP时，有t=5-t，解得t=．
③如图3，当BQ=PQ时，自点Q向BD引垂线，垂足为N．
由Rt△BNQ∽Rt△BCD，
得．
∴，
解得t=．

（3）不能．
若△PBQ为等边三角形，则BQ=BP=PQ．
由（2）②，知当BQ=BP时，t=．
由（2）①，知当BP=PQ时，．
∴BQ=BP与BP=PQ不能同时成立，∴△PBQ不可能为等边三角形．
分析：（1）△BPQ中，可根据Q的速度用时间t表示出底边BQ的长，而BQ边上的高，可用BP•sinPBQ来表示，根据三角形的面积公式即可求出S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值．
（2）本题要分情况讨论：
①PB=BQ，可用t表示出BP，BQ的长，即可根据题设的等量关系求出t的值．
②PQ=BQ，过P作BD的垂线，设垂足为N，那么BN=，然后在直角三角形BQN中，用BN的长和∠DBC的正弦值表示出BN联立前面BN的表达式即可求出t的值．
③PB=PQ，过P作PM⊥BQ与M，解法同②类似．
（3）如果三角形BPQ为等边三角形，必为（2）题三种条件中的一种，然后按（2）的条件判断三边是否相等即可．
（其实本题可直接得出△PBQ不是等边三角形，因为∠PBQ不可能是60°）．
点评：本题是点的运动型问题，考查了矩形的性质、二次函数的应用、等腰三角形的判定等知识点．
（2）题在不确定等腰三角形的腰和底边的情况下要分类讨论．