Question

已知抛物线y=ax²+bx+c过点A（1，），其顶点E的横坐标为2，此抛物线与x轴分别交于B（x₁，0），C（x₂，0）两点（x₁＜x₂），且x₁²+x₂²=16．
（1）求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）若D是y轴上一点，且△CDE为等腰三角形，求点D的坐标．

Answer 1

解：（1）设所求抛物线为y=a（x-2）²+n．
即y=ax²-4ax+4a+n．
∵点A（1，）在抛物线上，
∴=a+n．①
∵x₁，x₂是方程ax²-4ax+4a+n=0的两实根，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=．
又∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4²-2×=16，
∴4a+n=0．②
由①②得a=-，n=2．
∴所求抛物线解析式为y=-（x-2）²+2，
即y=-x²+2x．
顶点E的坐标为（2，2）．

（2）由（1）知B（0，0），C（4，0）．
又因为E（2，2），
故△BCE为等腰直角三角形，如图．
由等腰△CDE知，CE为腰或CE为底．
①当CE为腰时，又D在y轴上，则只能有DE=EC，显然D点为（0，0）或（0，4）（这时D、E、C共线，舍去）．
∴D点只能取（0，0）．
②当CE为底时，
设抛物线对称轴与x轴交于点F，
因△CEF为等腰直角三角形，
则线段CE的垂直平分线过点F，
设交y轴于点D．
故∠OFD=45度．
∴OD=DF=2．
∴D点坐标为（0，-2）．
综上所述，点D的坐标为（0，0）或（0，-2）．
分析：（1）设所求抛物线为y=a（x-2）²+n，又已知点A的坐标，求出x₁+x₂以及x₁x₂的表达式后可解出a、n的值．
（2）由（1）知点B、C的坐标，易得△BCE为等腰直角三角形．然后CE分两种情况：当CE为腰以及当CE为底时求解．
点评：本题考查的是二次函数的图象以及二次函数知识的灵活运用，难度较大．