Question

7．在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{6}$x²+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），点P（t，0）是线段OC上的动点，PB⊥PA，且PB=$\frac{1}{2}$PA，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D；
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；
（3）是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、C两点坐标代入抛物线y=-$\frac{1}{6}$x²+bx+c，运用待定系数法即可求出b，c的值；
（2）先求得M的坐标，进而求出点D的坐标，然后将D（t+2，4）代入（1）中求出的抛物线的解析式，即可求出t的值；
（3）由于t=8时，点B与点D重合，△ABD不存在，所以分0＜t＜8和t＞8两种情况进行讨论，在每一种情况下，当以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似时，又分两种情况：△BEP∽△ADB与△PEB∽△ADB，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{6}$x²+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-\frac{1}{6}×64+8b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{6}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
故所求的抛物线解析式为：y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4；

（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=∠EPB=90°-∠APO，
∴△AOP∽△PEB且相似比为$\frac{AO}{PE}$=$\frac{AP}{PB}$=2，
∵AO=4，
∴PE=2，OE=OP+PE=t+2，
又∵DE=OA=4，
∴点D的坐标为（t+2，4），
∴点D落在抛物线上时，有-$\frac{1}{6}$（t+2）²+$\frac{5}{6}$（t+2）+4=4，
解得t=3或t=-2，
∵t＞0，
∴t=3．
故当t为3时，点D落在抛物线上；

（3）存在t，能够使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似，理由如下：
①当0＜t＜8时，如图1．

若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD，
即t：（t+2）=4：（4-$\frac{1}{2}$t），
整理，得t²+16=0，
∴t无解；
若△POA∽△BDA，同理，解得t=-2±2$\sqrt{5}$（负值舍去）；
②当t＞8时，如图2．

若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD，
即t：（t+2）=4：（$\frac{1}{2}$t-4），
解得t=8±4$\sqrt{5}$（负值舍去）；
若△POA∽△BDA，同理，解得t无解．
综上可知，当t=-2+2$\sqrt{5}$或8+4$\sqrt{5}$时，以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大．由相似三角形的判定与性质求出点D的坐标是解决（2）小题的关键；进行分类讨论是解决（3）小题的关键．