Question

已知：如图A，△ABC各角的平分线AD，BE，CF交于点O．
（1）试说明∠BOC=90°+∠BAC；
（2）如图B，过点O作OG⊥BC于G，试判断∠BOD与∠COG的大小关系（大于，小于或等于），并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵OB、OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠BAC）
=180°-90°∠BAC
=90°∠BAC；
（2）解：∠BOD=∠COG．理由如下：
∵△ABC各角的平分线AD，BE，CF交于点O，
∴∠ABO=∠ABC，∠BAO=∠BAC，∠OCG=∠ACB，
∴∠BOD=∠ABO+∠BAO=（∠ABC+∠BAC）
=（180°-∠ACB）
=90°-∠OCG，
∵OG⊥BC于G，
∴∠OGC=90°，
∴∠COG=90°-∠OCG，
∴∠BOD=∠COG．
分析：（1）根据角平分线的定义得到∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，再根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠ABC+∠ACB），再次根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-（180°-∠BAC），然后化简即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠ABO=∠ABC，∠BAO=∠BAC，∠OCG=∠ACB，根据三角形外角性质有∠BOD=∠ABO+∠BAO=（∠ABC+∠BAC），再根据三角形内角和定理得到∠BOD=（180°-∠ACB）=90°-∠OCG，根据垂直的性质得到∠COG=90°-∠OCG，即可得到∠BOD=∠COG．
点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了三角形角平分线与高线以及三角形外角性质．