Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∠ABC=30°．D是CB上一点，DC=1cm．P、Q是直线CB上的两个动点，点P从C点出发，以1cm/s的速度沿直线CB向右运动，同时，点Q从D点出发，以2cm/s的速度沿直线CB向右运动，以PQ为一边在CB的上方作等边三角形PQR，下图是其运动过程中的某一位置．设运动的时间是t（s）．
（1）△PQR的边长是______cm（用含有t的代数式表示）；
（2）若等边△PQR与△ABC重叠部分的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

解：（1）△PQR的边长PQ=CQ-CP=（CD+DP）-CP=（1+2t）-t=（t+1）cm；
故答案为：（t+1）；


（2）当0≤t＜时，如图1：易得重叠部分为一个小等边三角形其边长为t+1，
则重叠部分的面积y=（t+1）²；
当≤t＜时，如图2：易得重叠部分为四边形MNQP，
∵∠B=30°，且△RPQ为等边三角形，得到∠RPQ=∠R=60°，
∴∠PMN=90°，且PB=BC-CP=6-t，∠RNM=30°，
∴PM=（6-t），故MR=PR-PM=（t+1）-（6-t）=（3t-4），
∴MN=MR•tan60°=（3t-4），
则重叠部分的面积y=（t+1）²-（3t-4）²
=-t²+t-
=-（t-2）²+；
当≤t＜6时，如图3：同理可得y=（6-t）²；
当t≥6时，如图4：可得y=0．
分析：（1）根据题意，直接将△PQR的三边相加即可得出含t的表达式；易得△QRB为等腰三角形，可得到QB=QR=QP=t+1；
（2）易得重叠部分为一个小等边三角形，依题意根据重叠部分图形的形状分四种情况考虑：如图分别画出图形，图形1根据等边三角形的边长为t+1，表示出重叠部分的面积y；图形2，用等边三角形RPQ的面积减去三角形RMN的面积，首先由等边三角形的性质得到内角为60°，再由∠B=30°可得MN与RP垂直，可得三角形RMN为直角三角形，由30°所对的直角边等于斜边的一半，先表示出PB的长，进而表示出MP的长，用RP-MP可得PM的长，再利用锐角三角函数表示出MN的长，即可表示出三角形RMN的面积，可表示出重叠部分的面积；图形3，同理可得重叠部分的面积；图形4，根据图形可得重叠部分的面积为0．
点评：本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质，是一道动态几何题，综合性较强，有一定的难度．特别是第二问动点P和Q运动过程中，与三角形ABC重叠部分存在四种情况，学生应借助图形，利用分类讨论的思想来解决问题．