Question

设抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB=90°。
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n ）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E，若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△BDP的外接圆半径等于_____________。

Answer 1

解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA·OB=OC²，
∴OB=，
∴m=4，
将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，得，
∴抛物线的解析式为；
（2）D（1，n）代入y=，得n=-3，
由，得
∴E（6，7）过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0）
∴AH=EH=7
∴∠EAH=45°
过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0）
∴BF=DF=3
∴∠DBF=45°
∴∠EAH=∠DBF=45°
∴∠DBH=135°，90°＜∠EBA＜135°
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP₁∽△EAB，
则
∴BP₁=
∴OP₁=，
∴P₁（，0）
②若△DBP₂∽△BAE，
则
∴BP₂=
∴OP₂= 
∴
综合①、②，得点P的坐标为：或；
（3）或。