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    5．操作探究：已知矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E和F分别是AD和AB上一动点，折叠矩形ABCD，点A1为点A的对应点．
    （1）如图1，沿直线EF折叠矩形ABCD，点A1是矩形ABCD内一点，请作出△A1EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
    （2）如图2，沿直线BE折叠矩形ABCD，当A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，求CA1的长．
    拓展延伸：
    （3）去掉“BC=5”的条件，若沿直线BE折叠矩形后，落在∠BCD平分线上的点A1有且只有一个时，求矩形的面积．
    （4）把矩形ABCD沿直线EF折叠后，点A的对应点A1落在矩形ABCD内（不包括边缘部分），直接写出DA1的最小值．

    分析 （1）分别以A和A1为圆心，大于AA1长的一半为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交AD于E，交AB于F，连接A1E和A1F，则△A1EF即为所求；
    （2）过点A1作A1F⊥BC于F，设A1F=CF=x，则BF=5-x，在Rt△A1BF中，根据勾股定理得出A1F2+BF2=A1B2，进而得到x2+（5-x）2=42，求得CF=$\frac{5+\sqrt{7}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，最后在在等腰Rt△A1CF中，求得CA1即可；
    （3）过点B作∠BCD的平分线的垂线，当点A1落在垂足上时，点A1有且只有一个，根据△A1BC是等腰直角三角形，得到A1B=A1C=4，求得BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，据此求得矩形的面积；
    （4）根据两点之间线段最短，以及A1B=AB=4可得，当点B，A1，D三点共线时，A1D最短，在Rt△ABD中，根据勾股定理求得BD的长，即可得到DA1的最小值．

    解答 解：（1）如图1所示，分别以A和A1为圆心，大于AA1长的一半为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交AD于E，交AB于F，连接A1E和A1F，则△A1EF即为所求；


    （2）如图2所示，过点A1作A1F⊥BC于F，

    ∵点A1落在∠BCD的平分线上，
    ∴∠BCA1=45°，
    ∴△A1CF是等腰直角三角形，
    设A1F=CF=x，则BF=5-x，
    由折叠可得，A1B=AB=4，
    ∴Rt△A1BF中，A1F2+BF2=A1B2，
    即x2+（5-x）2=42，
    解得x1=$\frac{5+\sqrt{7}}{2}$，x2=$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，
    即CF=$\frac{5+\sqrt{7}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，
    ∴在等腰Rt△A1CF中，CA1=$\sqrt{2}$CF=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{14}}{2}$或$\frac{5}{2}\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{14}}{2}$；

    （3）如图3所示，过点B作∠BCD的平分线的垂线，当点A1落在垂足上时，点A1有且只有一个，

    此时，△A1BC是等腰直角三角形，
    ∴A1B=A1C=4，
    ∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
    ∴矩形的面积=4×4$\sqrt{2}$=16$\sqrt{2}$；

    （4）如图4所示，根据两点之间线段最短，以及A1B=AB=4可得，
    当点B，A1，D三点共线时，A1D最短，

    此时，Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
    ∴A1D=$\sqrt{41}$-4，
    即DA1的最小值为$\sqrt{41}$-4．

    点评 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是掌握：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意：设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程即可求出答案．

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