Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于D，P是AB延长线上一点，连PC，且∠PCB=$\frac{1}{2}$∠BAC
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，求tan∠CPD的值．

Answer 1

分析 （1）设AP与⊙O交于点E，连接CE，只要证明∠ACP=∠ACB+∠PCB=（90°-$\frac{1}{2}$∠BAC）+$\frac{1}{2}$∠BAC=90°即可；
（2）如图，连接连接AD，作BE⊥CD于E，DF⊥PC于F．在Rt△APC中，由sin∠PAC=$\frac{4}{5}$，设PC=4k，PA=5k，AC=3k，由AC是直径，推出∠ADC=90°，推出AD⊥CB，由AC=AB=3k，推出CD=BD，由DF∥BE，推出CF=EF，DF=$\frac{1}{2}$BE，PB=2k，由BE∥AC，推出$\frac{PE}{PC}$=$\frac{BE}{AC}$=$\frac{PB}{PA}$，可得PE=$\frac{8}{5}$k，BE=$\frac{6}{5}$k，EC=$\frac{12}{5}$k，求出PF、DF即可解决问题．

解答 （1）证明：设AP与⊙O交于点E，连接CE，

∵AC=AB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC=）=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠PCB=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ACP=∠ACB+∠PCB=（90°-$\frac{1}{2}$∠BAC）+$\frac{1}{2}$∠BAC=90°，
即AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）如图，连接连接AD，作BE⊥CD于E，DF⊥PC于F．

在Rt△APC中，∵sin∠PAC=$\frac{4}{5}$，
设PC=4k，PA=5k，AC=3k，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CB，
∵AC=AB=3k，
∴CD=BD，
∵DF∥BE，
∴CF=EF，DF=$\frac{1}{2}$BE，PB=2k，
∵BE∥AC，
∴$\frac{PE}{PC}$=$\frac{BE}{AC}$=$\frac{PB}{PA}$，
∴PE=$\frac{8}{5}$k＜BE=$\frac{6}{5}$k，EC=$\frac{12}{5}$k，
∴EF=$\frac{6}{5}$k，PF=$\frac{14}{5}$k，DF=$\frac{3}{5}$k，
∴tan∠CPD=$\frac{DF}{PF}$=$\frac{3}{14}$．

点评 本题考查圆、切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．