Question

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．
在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h₃=0，可得结论：h₁+h₂+h₃=h．
在图（2），（3），（4），（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2），（3），（4），（5）中，h₁、h₂、h₃、h之间的关系；（直接写出结论）图②-⑤中的关系依次是：
h₁+h₂+h₃=h；h₁-h₂+h₃=h；h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h；
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论；
（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h₁、h₂、h₃、h₄，桥形的高为h，则h₁、h₂、h₃、h₄、h之间的关系为：h₁+h₃+h₄=

mh

m-n

．图（4）与图（6）中的等式有何关系．

Answer 1

分析：（1）图②-⑤中的关系依次是：h₁+h₂+h₃=h；h₁-h₂+h₃=h；h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h；
（2）由图（2）有S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC根据等边三角形的性质，及面积公式得出结论；
（3）由图（4）有S_△ABP+S_△BCP+S_△ACP=S_△ABC，根据等边三角形的性质，及面积公式得出结论；
（4）延长BR、CS交于A，由（3）有h₁+h₃+h₄=

mh

m-n

．

解答：解：（1）图②-⑤中的关系依次是：
h₁+h₂+h₃=h；h₁-h₂+h₃=h；h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h；（4分）

（2）图②中，h₁+h₂+h₃=h．
证法一：
∵h₁=BPsin60°，h₂=PCsin60°，h₃=0，（6分）
∴h₁+h₂+h₃=BPsin60°+PCsin60°
=BCsin60°
=ACsin60°
=h．（8分）
证法二：连接AP，则S_△APB+S_△APC=S_△ABC．（6分）
∴

1

2

AB×h1+

1

2

AC×h2=

1

2

BC×h．
又h₃=0，AB=AC=BC，
∴h₁+h₂+h₃=h；（8分）

证明：（3）图④中，h₁+h₂+h₃=h．
过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．（9分）在△ARS中，由图②中结论知：h₁+h₂+0=h-h₃．
∴h₁+h₂+h₃=h．（10分）
说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分；

（4）由（3）可知：h₁+h₃+h₄=

mh

m-n

．（11分）
让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广．（12分）

点评：本题是一个探究性很强的题目，主要考查等边三角形的性质，及结论在等腰梯形中的推广．