Question

如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB上一个动点，过P点作PF∥AC交线段BD于点F，作GP⊥AB交线段AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x．
（1）①试判断BG与2BP的大小关系，并说明理由；
②用x的代数式表示线段DG的长，并写出x的取值范围；
（2）记△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S值为时x的值；
（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）①BG=2BP．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
又∵GP⊥AB，
∴∠BPG=90°，
∴∠BGP=30°，
∴BG=2BP．
②∵AD⊥BC，
∴BD=BC=×2=1，
又∵BG=2BP=2x，
∴DG=BG-BD=2x-1（＜x≤1）；

（2）∵PF∥AC，
∴△BPF为等边三角形，
∴BF=BP=x，
∴FD=1-x，
在Rt△EDG中，∠EGD=30°，DG=2x-1，
∴ED=DG=（2x-1），
∴S=FD•ED=•（2x-1）（1-x）
=-x²+x-（＜x≤1），
当S=，则-x²+x-=，
解得x₁=x₂=
∴x=；

（3）∠EPF=∠EGD=30°，∠EDG=90°
当△PEF∽△GDE，
∴∠PEF=90°，
∴∠PFE=60°，
∴∠EFG=60°，
∴EF=2FD=2（1-x），
又∵PF=2EF，
∴x=4（1-x），解得x=；
当△PFE∽△GDE，
∴∠PFE=90°，
∴∠EFD=30°，
∴EF=2DE=2×FD=（1-x），
而PF=EF，
∴x=•（1-x），解得x=，
∴以P、E、F为顶点的三角形与△EDG能相似，此时BP的长为或．
分析：（1）①由△ABC为等边三角形得到∠B=60°，而GP⊥AB，然后根据含30°的直角三角形三边的关系即可得到BG=2BP；②由AD⊥BC，根据等边三角形的性质得BD=BC=×2=1，即可得到DG=BG-BD=2x-1（＜x≤1）；
（2）由PF∥AC易得△BPF为等边三角形，则BF=BP=x，得到FD=1-x，在Rt△EDG中根据含30°的直角三角形三边的关系得到ED=DG=（2x-1），然后利用三角形的面积公式即可得到S；当S=，得到关于x的一元二次方程，解方程即可；
（3）由∠EPF=∠EGD=30°，∠EDG=90°，再讨论：当△PEF∽△GDE，则∠PFE=90°；当△PFE∽△GDE，则∠PFE=90°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系分别得到关于x的方程，解方程即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其它两边（或其延长线）所截得的三角形与圆三角形相似．也考查了等边三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系以及一元二次方程的解法．