Question

7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；
（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE．

解答 （1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC=OA，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF和△OCF中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}&{\;}\\{∠3=∠2}&{\;}\\{OF=OF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，
∴OF=$\sqrt{O{F^2}+O{A^2}}$=$\sqrt{{3^2}+{4^2}}$=5
∵FA⊥OA，OF⊥AC，
∴AC=2AE，△OAF的面积=$\frac{1}{2}$AF•OA=$\frac{1}{2}$OF•AE，
∴3×4=5×AE，
解得：AE=$\frac{12}{5}$，
∴AC=2AE=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理以及三角形面积的计算；熟练掌握切线的判定，并能进行推理计算是解决问题的关键．