Question

解决下面问题：
如图，在△ABC中，∠A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=

1

2

∠A，BE与CD相交于点O，探究BD与CE之间的数量关系，并证明你的结论．

小新同学是这样思考的：
在平时的学习中，有这样的经验：假如△ABC是等腰三角形，那么在给定一组对应条件，如图a，BE，CD分别是两底角的平分线（或者如图b，BE，CD分别是两条腰的高线，或者如图c，BE，CD分别是两条腰的中线）时，依据图形的轴对称性，利用全等三角形和等腰三角形的有关知识就可证得更多相等的线段或相等的角．这个问题也许可以通过添加辅助线构造轴对称图形来解决．请参考小新同学的思路，解决上面这个问题．

Answer 1

分析：以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点，首先证明△BDC≌△CFB，就可以得出BD=CF，∠BDC=∠CFB，进而得出∠CFB=∠CEF就可以得出CE=CF而得出结论．

解答：解：BD=CE．理由如下：
如图，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点．
在△BDC和△CFB中，

∠FCB=∠DBC BC=BC ∠FBC=∠DCB

，
∴△BDC≌△CFB（SAS），
∴BD=CF，∠BDC=∠CFB，
∵∠DCB=∠EBC=

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2

∠A，
∴∠DCB+∠EBC=∠A．
∵∠DCB+∠EBC=∠FOC，
∴∠FOC=∠A．
∵∠BDC=∠A+∠ACD，
∴∠CFB=∠A+∠ACD．
∴∠CFB=∠FOC+∠ACD．
∵∠FEC=∠FOC+∠ACD，
∴∠CFB=∠CEF，
∴CE=CF．
∴BD=CE．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．