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【题目】(本题10分)如图,已知二次函数的图象的顶点为A,二次函数的图象与轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数的图象的对称轴上.

(1) 求点A与点C的坐标;

(2) 当四边形AOBC为菱形时,求函数的关系式.

【答案】1A的坐标为(1,﹣2),C的坐标为(20).

2)二次函数y=ax2+bx的关系式为y=2x2+4x

【解析】试题分析:(1)二次函数y=ax2+bx的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上,可知两个函数对称轴相等,因此先根据已知函数求出对称轴.根据函数解析式得出顶点A的坐标与对称轴,故可得出二次函数y=ax2+bx关于x=1对称,且函数与x轴的交点分别是原点和C点,所以点C和点O关于直线l对称,故可得出点C的坐标;

2)因为四边形AOBC是菱形,根据菱形性质,可以得出点O和点C关于直线AB对称,点B和点A关于直线OC对称,因此,可求出点B的坐标,根据二次函数y=ax2+bx的图象经过点B12),C20),将BC代入解析式得出ab的值,进而得出其解析式.

试题解析:(1y=x2-2x-1=x-12-2

∴顶点A的坐标为(1-2).

∵二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C,它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上.

∴二次函数y=ax2+bx的对称轴为:直线x=1

∴点C和点O关于直线x=1对称,

∴点C的坐标为(20).

2)因为四边形AOBC是菱形,所以点B和点A关于直线OC对称,

因此,点B的坐标为(12).

因为二次函数y=ax2+bx的图象经过点B12),C20),

所以

解得

所以二次函数y=ax2+bx的关系式为y=-2x2+4x

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