Question

如图，直线y=x向下平移b个单位后得直线l，l与函数（x＞0）相交于点A，与x轴相交于点B，则OA²-OB²=________．

Answer 1

2
分析：利用函数图象的平移规律：“上加下减”，把直线y=x向下平移b个单位，表示出平移后直线的方程为y=x-b，即为直线l的方程，与反比例函数联立消去y后，得到关于x的方程，整理后得到x²=bx+，并令直线l方程中y=0，求出x的值，确定出B的坐标，得出OB²，设出A的坐标，利用勾股定理表示出OA²，将表示出的OA²及OB²代入所求的式子中，整理后再将x²=bx+代入，化简后即可得到结果．
解答：从原直线上找一点（1，1），向下平移b个单位长度为（1+b，1），
它在新直线上，可设新直线的解析式为：y=x+b₁，代入得b₁=-b，
∴直线y=x向下平移b个单位后得直线l：y=x-b，
∴联立直线l与反比例解析式，消去y得：x-b=，即x²-bx-=0，
∴x²=bx+，
又直线l与x轴交于点B（b，0），设点A的坐标为（x，x-b），
∴OA²-OB²=x²+（x-b）²-b²=2x²-2bx=2（bx+）-2bx=2．
故答案为：2
点评：此题属于反比例函数的综合题，设计的知识有：一次函数的平移规律，一次函数与反比例函数的交点坐标，利用了转化及方程的思想，其中得出y=x平移后直线l的方程是解本题的关键．