Question

15．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=13，BE=$\frac{{22\sqrt{5}}}{5}，tan∠OAB=\frac{1}{2}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OB．利用三角形的内角和定理可知：∠DAE+∠AED=90°，然后结合等腰三角形的性质证明∠OBC=90°即可；
（2）由线段垂直平分线的性质和圆的性质可知三角形AOF为等边三角形，从而可求得∠AOF=60°，然后由圆周角定理可求得∠ABF=30°；
（3）作CM⊥AB于M．由三角形三线合一的性质可知：ME=MB=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{{11\sqrt{5}}}{5}$，由∠OAB=∠MCE可知：tan∠MCE=$\frac{1}{2}$，
从而可求得CM=$\frac{{22\sqrt{5}}}{5}$，在Rt△ECM中由勾股定理得EC=11，从而可求得ED=2，由tan∠DAE=$\frac{1}{2}$可知：AD=4，故此可求得AO=8．

解答 解：（1）如图1所示：连结OB．

∵BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵CD⊥OA，
∴∠OAB+∠AED=90°．
∴∠CBO=90°．
∵B在圆上，
∴BC是圆的切线．
（2）如图2所示：连结OF．

∵DC是OA的垂直平分线，
∴AF=OF．
∵OA=OF，
∴OA=OF=AF．
∴∠AOF=60°．
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠AOF=30°．
（3）如图3所示：作CM⊥AB于M．

∵BC=CE，CM⊥AB，
∴ME=MB=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{{11\sqrt{5}}}{5}$
∵tan∠OAB=$\frac{1}{2}$，∠OAB=∠MCE
∵tan∠MCE=$\frac{EM}{CM}=\frac{1}{2}$，
∴CM=2EM=$\frac{{22\sqrt{5}}}{5}$．
在Rt△CEM中，CE=$\sqrt{M{E^2}+C{M^2}}=\sqrt{121}=11$．
∵CD=13，
∴DE=2．
∴AD=4．
∵D是OA的中点，
∴半径OA=8．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆的性质、切线的判定定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定，锐角三角函数的定义，求得EC的长度是解题的关键．