Question

10．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＜0）和y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴且交y轴于点C，且OA⊥OB，S_△AOC=$\frac{1}{2}$，S_△BOC=$\frac{9}{2}$，则线段AB的长度为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． $\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 根据反比例函数k的几何意义得到$\frac{1}{2}$|k₁|=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$|k₂|=$\frac{9}{2}$，解得k₁=-1，k₂=9，设C点坐标为（0，t），则A点坐标为（-$\frac{1}{t}$，t），B点坐标为（$\frac{9}{t}$，t），再证明Rt△AOC∽Rt△OBC，利用相似比得到t：$\frac{9}{t}$=$\frac{1}{t}$：t，解得t=$\sqrt{3}$，然后计算AB=$\frac{9}{t}$+$\frac{1}{t}$即可．

解答 解：∵AB∥x轴，交y轴于点C，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$|k₁|=$\frac{1}{2}$，S_△BOC=$\frac{1}{2}$|k₂|=$\frac{9}{2}$，
∴k₁=-1，k₂=9，
设C点坐标为（0，t），则A点坐标为（-$\frac{1}{t}$，t），B点坐标为（$\frac{9}{t}$，t），
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOC=90°，
而∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOC，
∴Rt△AOC∽Rt△OBC，
∴OC：BC=AC：OC，即t：$\frac{9}{t}$=$\frac{1}{t}$：t，解得t=$\sqrt{3}$，然后计算AB=$\frac{9}{t}$+$\frac{1}{t}$即可．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了相似三角形的判定与性质．