Question

（2012•德阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AE=CE；
（2）若EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，且CD=CF=2cm，求⊙O的直径；
（3）若EF与⊙O相切于点E，点C在线段FD上，且CF：CD=2：1，求sin∠CAB．

Answer 1

分析：（1）连接DE，根据∠ABC=90°可知：AE为⊙O的直径，可得∠ADE=90°，结合点D是AC中点，可得出ED是AC的中垂线，从而可证得结论；
（2）根据△ADE∽△AEF，可将AE解出，即⊙O的直径求出；
（3）根据等角代换得出∠CAB=∠DEA，然后根据CF：CD=2：1，可得AC=CF，继而根据斜边中线等于斜边一半得出CE=BE=CF=AC，在RT△ADE中，求出sin∠DEA即可得出答案．

解答：证明：（1）连接DE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE=90°，即DE⊥AC，
又∵D是AC的中点，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE；
（2）在△ADE和△EFA中，

∠ADE=∠AEF=90° ∠DAE=∠EAF

，
故可得△ADE∽△AEF，
从而

AE

AF

=

AD

AE

，即

AE

6

=

2

AE

，
解得：AE=2

3

cm；
即⊙O的直径为2

3

cm．
（3）∵∠CAB+∠ACB=90°，∠DEA+∠DAE=90°，∠DAE=∠ACB，
∴∠CAB=∠DEA，
∵CF：CD=2：1，点D是AC中点，
∴CF=2CD，AC=2CD，
∴AE=CE=AC=CF（斜边中线等于斜边一半）=2CD，
在RT△ADE中，sin∠DEA=

AD

AE

=

CD

2CD

=

1

2

．
故可得sin∠CAB=sin∠DEA=

1

2

．

点评：本题主要考查圆周角定理，切线的性质及相似三角形判定及性质，属于圆类题目的综合题，难度较大，解答本题的关键是熟练各个基础知识的内容，并能准确运用，大综合题都是对小知识点组合的考察，因此需要我们将所学的知识融会贯通．