Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点（不与A、D重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．
（1）证明四边形EGFH是平行四边形；
（2）当点E运动到何位置时，四边形EGFH是菱形？并证明；
（3）若（2）中的菱形是正方形，请探索EF与BC的关系，并证明．

Answer 1

分析：（1）由G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，根据三角形的中位线的性质，易证得四边形EGFH是平行四边形；
（2）当点E运动到边AD的中点时，易证得△ABE≌△DCE（SAS），可得BE=CE，然后由三角形的中位线的性质，可证得EG=FG=FH=EH，即可得四边形EGFH是菱形；
（3）当菱形是正方形时，易得△BEC是等腰直角三角形，F是BC的中点，则可得EF=

1

2

BC．

解答：证明：（1）G、F、H是BE、BC、CE的中点，
∴EG∥HF，EH∥GF，
∴四边形GFHE是平行四边形．

（2）当点E运动到边AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
理由：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A=∠D，AB=CD，
在△ABE和△DCE中，

AB=DC ∠A=∠D AE=DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，
∵G、F、H是BE、BC、CE的中点，
∴FH=EG=

1

2

BE，FG=EH=

1

2

CE，
∴EG=FG=FH=EH，
∴四边形EGFH是菱形；

（3）EF=

1

2

BC．垂直．
证明：∵四边形EGFH是正方形，
∴∠BGF=∠CHF=90°，
∵FG=EG=BG=FH=EH=CH，
∵BF=FC，BE=CE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴EF=

1

2

BC，EF⊥BC．

点评：此题考查了菱形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．