Question

如图，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC交BC于E，延长BC到F，使CE=CF，连接DF．
（1）试探究：①BE与DF有何位置关系和数量关系？②BD，BC，CE有何数量关系？
（2）请你对（1）中探究的结论选择①或②中的一个______加以证明？

Answer 1

解：（1）①BE=DF，BE垂直平分DF，
②BD=BC+CE．
（2）证明（1）中探究的结论①，

延长BE交DF于G，
在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCD=90°，则∠DCF=90°，
又∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，∠F=∠BEC，
∵∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠F=90°，
∴∠BGF=90°，即BE⊥DF，
由∠BGF=90°知∠BGD=90°，
又∵BG=BG，∠DBG=∠FBG，
∴△BFG≌△BDG，
∴DG=FG，
综上可得BE=DF，BE垂直平分DF；
证明（1）中探究的结论②，
作EP⊥BD于P，

则∠BPE=∠DPE=90°，
在正方形ABCD中，∠BCD=90°，∠BDC=45°，
∵∠EBP=∠EBC，BE=BE，∠BPE=∠BCD，
∴△BCE≌△BPE，
∴BP=BC，EP=EC，
∵∠DEP=180°-∠DPE-∠BDC=180°-90°-45°=45^°，
∴∠DEP=∠BDC，
∴DP=EP，
∴BP+DP=BC+EP=BC+EC即BD=BC+CE．
分析：（1）①延长BE交DF于G，先证△BCE≌△DCF，然后根据全等三角形的性质及题意条件可证明△BFG≌△BDG，从而得出DG=FG，然后可得出结论．
②作EP⊥BD于P，可证△BCE≌△BPE，得出BP=BC，EP=EC，然后可判断出三条线段之间的关系．
（2）根据（1）所分析，可选择①或②进行证明．
点评：本题考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质，难度较大，证明三角形的全等在本题中起到了关键的作用，注意掌握全等三角形的几种判定方法．