Question

如图，等腰三角形ABC中，以腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D，交AC于点E，连接DE．
（1）求证：BD=DE；
（2）若⊙O的半径为3，BC=4，求CE的长．

Answer 1

（1）证明：连接AD，
∵AB为圆O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D为BC的中点，即BD=CD，
∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，
∴∠DEC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
∴BD=DE；
（2）解：∵∠DEC=∠B，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，
∴=，即=，
则EC=．
分析：（1）连接AD，由AB为直径，得到AD垂直于BC，利用三线合一得到D为BC的中点，由四边形ABDE为圆O的内接四边形，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角得到∠DEC=∠B，再由AB=AC，利用等边对等角得到∠B=∠C，利用等量代换得到∠DEC=∠C，利用等角对等边即可得证；
（2）BC的长求出CD的长，再由∠DEC=∠B，∠C为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似得比例，即可求出CE的长．
点评：此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．