Question

2013年10月，台风“菲特”来袭，宁波余姚被雨水“围攻”，如图，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB=60米，拱高PM=18米，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30米时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面A₁B₁到拱顶距离只有4米，问是否要采取紧急措施？请说明理由．

Answer 1

分析：连接OA、OA₁，由垂径定理可得：AM=MB=30m，再分别解Rt△AMO、Rt△ONA₁即可得出A₁B₁的长度，将A₁B₁的长度与30m作比较，若它大于30m，则不需要采取紧急措施；若它小于30m，则需要采取紧急措施．

解答：解：连接OA、OA₁，如下图所示：

由题可得：AB=60m，PM=18m，PN=4m，OA=OA₁=OP=R
OP⊥AB，OP⊥A₁B₁
由垂径定理可得：AM=MB=30m
在Rt△AMO中，由勾股定理可得：
AO²=AM²+MO²
即R²=30²+（R-18）²
解得R=34m
∵PN=4m，OP=R=34m
∴ON=30m
在Rt△ONA₁中，由勾股定理可得：
A₁N²=A₁O²-ON²
可得A₁N=16m
故A₁B₁=32m＞30m
故不用采取紧急措施．

点评：本题考查了垂径定理在实际问题中的运用，另外，求是否采取紧急措施要转换为A₁B₁的长度是否大于30m．