Question

2．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在CO的延长线上，连接BD，已知BC=BD，AB=4，BC=2$\sqrt{3}$．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，进而得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出sinA的值，利用特殊角的三角函数值求出∠A的度数为60度，再由OA=OC，得到三角形AOC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两个角为60度，进而求出∠BCD为30度，利用三角形内角和定理求出∠OBD为直角，即OB垂直于BD，即可得证；
（2）由AB为直径，求出半径为2，由BC=BD，利用等边对等角得到一对角相等，再由OC=OB得到一对角相等，等量代换得到∠D=∠OBC，再由一对公共角相等，得到三角形OCB与三角形BCD相似，由相似得比例，即可求出CD的长．

解答 解：（1）∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵sinA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠A=60°，
∵AO=CO，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=∠ACO=60°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°，
∵∠BOD=∠AOC=60°，
∴∠OBD=180°-（∠BOD+∠D）=90°，
∴OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；

（2）∵AB为圆O的直径，且AB=4，
∴OB=OC=2，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
∵OC=OB，
∴∠BCD=∠OBC，
∴∠D=∠OBC，
在△BCD和△OCB中，
∠D=∠OBC，∠BCD=∠OCB，
∴△BCD∽△OCB，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{BC}{OC}$，即$\frac{CD}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$，
则CD=6．

点评 此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．