Question

已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为P点，已知△OAP的面积为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且点B的横坐标为1，在x轴上求一点M，使MA+MB最小．

Answer 1

（1）设A点坐标为（x，y）由题意可知OP=x，PA=y
∴S_△AOP=xy=，
∴xy=1，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=xy=1，
∴y=；

（2）作A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于M点，这时MA+MB最小．
∵点B的横坐标是1，
∴点B的纵坐标是y==1，
∴B（1，1），
∵A点是正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交点，
∴2x=，
解得x=±，
∵点A在第一象限，
∴A点的横坐标是，
∴点A的坐标（，），
∴点A关于x轴对称的点A′的坐标是（，-），
设直线A′B的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入得：
，
解之得，
∴直线AB的解析式为y=（4+3）x-3-3，
当y=0时，x==，
故M（，0）．
分析：反比例函数图象上任一点向横轴和纵轴做垂线，垂线段和横纵轴所围成矩形的面积即为k的绝对值，由图象分布的象限可求得K的值，由解析式可求得点的坐标，由点的坐标用待定系数法可求得函数解析式．
（1）设A点坐标为（x，y）则OP=x，PA=y，根据△OAP的面积为可得xy=1，再由点A在反比例函数图象上，可知k=xy=1，即可得到反比例函数关系式；
（2）作A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于M点，这时MA+MB最小．首先求出B点坐标，再利用函数关系式算出A、A′的坐标，再利用A、B两点坐标利用待定系数法算出直线AB的函数解析式，最后根据函数解析式求出M点坐标即可．
点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象和性质，轴对称的性质，待定系数法求解析式，解决此题的难点是确定M点的位置，在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．