Question

（2013•兰州一模）如图，AB是⊙O的弦，点D是半径OA上的动点（与点A，O不重合），过点D垂直于OA的直线交⊙O于点E，F，交AB于点C．
（1）点H在直线EF上，如果HC=HB，那么HB是⊙O的切线吗？
（2）连接AE，AF，如果

AF

=

FB

，求证：AF²=CF•FE
（3）在（2）的条件下，已知CF=8，FE=25，若点D是半径OA的中点，求⊙O的面积．

Answer 1

分析：（1）HB为圆O的切线，理由为：连接OB，由HC=HB，利用等边对等角得到一对角相等，再由对顶角相等，等量代换得到∠HBC=∠ACD，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由CD垂直于OA，得到一对角互余，等量代换得到OB垂直于BH，即可得证；
（2）连接AE，AF，由等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角，得到三角形ACF与三角形AEF相似，由相似得比例，变形即可得证；
（3）由（2）结论，将FC与EF代入求出AF，由OA垂直于EF，利用垂径定理得到D为EF中点，求出FD的长，由AD为半径一半，在直角三角形AFD中，利用勾股定理求出半径r，即可求出圆的面积．

解答：（1）HB为圆O的切线，理由为：
证明：连接OB，
∵HC=HB，
∴∠HBC=∠HCB，
∵∠HCB=∠ACD，
∴∠HBC=∠ACD，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∵CD⊥OA，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠HBC+∠OBA=90°，即∠OBH=90°，
∴HB为圆O的切线；

（2）证明：∵

AF

=

FB

，
∴∠FAB=∠E，
∵∠AFC=∠EFA，
∴△ACF∽△EAF，
∴

AF

EF

=

FC

AF

，即AF²=FC•EF；

（3）解：由（2）的结论得：AF²=FC•EF=8×25=200，
解得：AF=10

2

，
∵OA⊥EF，∴D为EF的中点，
∴FD=ED=

1

2

EF=

25

2

，
∵D为半径r的中点，
∴AD=

1

2

r，
在Rt△AFD中，根据勾股定理得：AF²=AD²+FD²，
即200=

1

4

r²+

625

4

，
解得：r=5

7

，
则圆O的面积为175π．

点评：此题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．