Question

如图，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y=的图象上．
（1）求m，k的值；
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式；
（3）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P₁Q₁，则点P₁的坐标为______，点Q₁的坐标为______．

Answer 1

解：（1）由题意可知，m（m+1）=（m+3）（m-1），解得m=3，
∴A（3，4），B（6，2），
∴k=4×3=12；

（2）存在两种情况，如图：
①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M₁点坐标为（x₁，0），N₁点坐标为（0，y₁），
∵四边形AN₁M₁B为平行四边形，
∴线段N₁M₁可看作由线段AB向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的），
∵A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），
∴N₁点坐标为（0，4-2），即N₁（0，2），
M₁点坐标为（6-3，0），即M₁（3，0），
设直线M₁N₁的函数表达式为y=k₁x+2，把x=3，y=0代入，解得k₁=-，
∴直线M₁N₁的函数表达式为y=-x+2；

②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M₂点坐标为（x₂，0），N₂点坐标为（0，y₂），
∵AB∥N₁M₁，AB∥M₂N₂，AB=N₁M₁，AB=M₂N₂，
∴N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁=M₂N₂，
∴线段M₂N₂与线段N₁M₁关于原点O成中心对称，
∴M₂点坐标为（-3，0），N₂点坐标为（0，-2），
设直线M₂N₂的函数表达式为y=k₂x-2，
把x=-3，y=0代入，解得k₂=-，
∴直线M₂N₂的函数表达式为y=-x-2，
∴直线MN的函数表达式为y=-x+2或y=-x-2；

（3）根据题意P点坐标（5+4，0+2）即（9，2），同理得Q（4，5）．
分析：（1）直接把A、B两点的坐标代入解析式中就可以得到关于m的方程，解方程即可；
（2）存在两种情况：当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时和当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时．无论哪种情况都可以利用平移知识求出M、N的坐标，然后利用待定系数法确定直线MN的解析式；
（3）这个问题比较简单，直接根据平移过程可以得到P₁，Q₁的坐标．
点评：此题主要考查了利用待定系数法确定一次函数的解析式，反比例函数解析式，也利用了坐标平移的知识．