如图1所示.一张三角形纸片ABC.∠ACB=90°.AC=8cm.BC=6cm．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形．将纸片△AC1D1沿直线D2B(AB)方向平移(点A.D1.D2.B始终在同一直线上).当点A与点B重合时.停止平移．设平移的速度是1cm/秒.平移的时间为x(秒).△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y(cm2)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形（如图2所示）．将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B（AB）方向平移（点A、D₁、D₂、B始终在同一直线上），当点A与点B重合时，停止平移．设平移的速度是1cm/秒，平移的时间为x（秒），△AC₁D₁与△BC₂D₂重叠部分面积为y（cm²）．

（1）求CD的长和斜边上的高CH；
（2）在平移过程中（如图3），设C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P．那么四边形FD₂D₁E是否可能是菱形？为什么？如果可能，请求出相应的D₁E=D₂F的值；
（3）请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（4）是否存在这样的x的值，使重叠部分面积为3cm²？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由．

分析：（1）根据勾股定理求出AB的值，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出CD的值，根据三角形的面积公式就可以求出CH的值；
（2）根据菱形的性质就可以得出当D₂F=D₂D₁时就可以求出D₁E=D₂F的值；
（3）分情况讨论，如图3，当0≤x≤5时，如图4，当5＜x≤10时，由三角形的面积公式就可以求出结论；
（4）当y=3时分别代入（3）的解析式就可以求出x的值．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴在直角三角形ABC中，由勾股定理，得
AB=10．
∵D是AB的中点，
∴CD=

AB=5．
∵

AC•BC=

AB•CH，
∴

×6×8=

×10CH，
∴CH=4.8；

（2）可能，当D₂F=D₂D₁时，四边形FD₂D₁E是菱形．
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD₂=∠A，
∴AD₂=D₂F，同理：BD₁=D₁E，
∴AD₂=BD₁，
∴D₁E=D₂F，
∵D₁E∥D₂F，
∴四边形FD₂D₁E是平行四边形．
∵D₂F=D₂D₁，
∴平行四边形FD₂D₁E是菱形．
∵AD₂=x，
∴D₂D₁=5-x，
∴x=5-x，
∴x=2.5，
∴D₁E=D₂F=2.5；

（3）如图3，当0≤x≤5时，
∵D₂D₁=x
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，
∴C₂F=C₁E=x．
∵在△ABC中，sin∠CDB=

，
∴sin∠ED₁B=

．
设△BED₁的BD₁边上的高为h，
∴h=

24(5-x)

，
∴S_△BD1E=

×BD₁×h=

(5-x)2．
∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90°．
∵∠C₂=∠B，
∴sin∠B=

，cos∠B=

，
∴PC₂=

x，PF=

x，

∴S_△FC2P=

PC2×PF=

x²．
∴y=S_△D2C2B-S_△BD1E-

S_△ABC-

(5-x)2-=

x²，
∴y=-

x²+

x；
如图4，当5＜x≤10时，
∵D2D1=x，BD2=AD1=5，
∴BD1=x-5，
∴AB=5-（x-5）=10-x．

∵sin∠PBA=

，cos∠PBA=

，
∴PA=

(10-x)，PB=

（10-x），
∴y=

×PA×PB=

(10-x)×

（10-x），
y=

（10-x）²．
综上可得：y=

x2+

x(0≤x≤5)

(10-x)2(5＜x≤10)

（4）当0≤x≤5时，
-

x²+

x=3，
解得：x₁=

20+5

＞5（舍去），x₂=

20-5

；
当5＜x≤10时，

（10-x）²=3，
解得：x₁=10+

＞10（舍去），x₂=10-

；
∴当x=

20-5

或x=10-

时，重叠部分的面积等于3．

点评：本题考查了勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，三角形面积公式的运用，三角函数的运用，分类讨论思想的运用，解答时求出函数的解析式是解答本题的关键．

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形（如图所示）．将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B（AB）方向平移（点A，D₁，D₂，B始终在同一直线上），当点D₁于点B重合时，停止平移．在平移过程中，C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P．
（1）当△AC₁D₁平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D₁E与D₂F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离D₂D₁为x，△AC₁D₁与△BC₂D₂重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值使得y=

S_△ABC；若不存在，请说明理由．