Question

16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F，连接DE、BF
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当EF与BD满足条件EF⊥BC时，四边形DEBF是菱形．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四边形的性质得出△DOF≌△BOE（ASA），进而得出EO=FO，即可得出答案；
（2）利用（1）的结论，再利用菱形的判定方法得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，DC∥AB，
∴∠CDO=∠OBA，
在△DOF和△BOE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FDO=∠OBE}\\{DO=BO}\\{∠DOF=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴EO=FO，
即DO=BO，EO=FO，
∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）解：当EF⊥BD时，四边形DEBF是菱形，
理由：∵四边形DEBF是平行四边形，EF⊥BD，
∴平行四边形DEBF时菱形．
故答案为：EF⊥BD．

点评 此题主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，正确得出EO=FO是解题关键．