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    以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．

    （1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接EF和FM．

    ①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；

    ②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

    （2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=3．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

     

     

    【答案】

    (1) ；（2）没有，证明见解析.

    【解析】

    试题分析：(1)1连接EF，由已知条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；2若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（0°＜＜60°），其他条件不变，的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由1的思路证明∠EMF=30°即可.

    （2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合时，NP取最小值为：OP-ON=-2；当P点在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=.

    试题解析：（1）①．

    ② 不变．

    证明：如图，连结AD和BC．

    在Rt△AOB和Rt△COD中，

    ∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°．

    ∴∠AOD=∠COB，

    ．

    ∴．

    ∴．

    又∵E、F、M分别为AC、CD、BD中点，

    ∴，．

    ∴．

    （2）线段PN长度的最小值为-2，最大值为．

    考点: 相似形综合题.

     

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    （1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．
    ①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，
    FM
    EM
    =
    		3
    2
    		3
    2
    ；
    ②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），其他条件不变，判断
    FM
    EM
    的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
    （2）如图3，若BO=3
    		3
    ，点N在线段OD上，且NO=2．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为
    3
    2
    		3
    -2
    3
    2
    		3
    -2
    ，最大值为
    3
    		3
    +2
    3
    		3
    +2
    ．

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    科目：初中数学 来源：2013届江苏省南通市如东县九年级中考适应性训练（一模）数学试卷（带解析） 题型：解答题

    以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．
    （1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．

    ①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；

    ②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

    （2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO="2." 点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

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    科目：初中数学 来源：2012-2013学年江苏省南通市如东县九年级中考适应性训练（一模）数学试卷（解析版） 题型：解答题

    以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．

    （1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．

    ①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；

    ②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

    （2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO="2." 点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

     

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    科目：初中数学 来源：2012-2013学年北京市西城区（北区）九年级上学期期末考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30．

    图1                         图2                     图3

    （1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．

    ①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；

    ②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

    （2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

     

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