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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
    （1）抛物线及直线AC的函数关系式；
    （2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
    （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
    分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；
    （2）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；
    （3）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=-
    3
    2
    （x-
    1
    2
    ）2+
    27
    8
    ，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；
    方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC═-
    3
    2
    （x-
    1
    2
    ）2+
    27
    8
    ，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值．
    解答：解：（1）由抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，

    -1-b+c=0
      -4+2b+c=3  
    ，
    解得
    b=2
    c=3
    ，
    故抛物线为y=-x2+2x+3；
    又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3），
    得
    -k+n=0 
    2k+n=3
    ，
    解得
    k=1
    n=1
    ，
    故直线AC为y=x+1；

    （2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
    ∴D（1，4），
    当x=1时，y=x+1=2，
    ∴B（1，2），
    ∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）．
    ①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
    ∵F在抛物线上，
    ∴x+3=-x2+2x+3，
    解得，x=0或x=1（舍去），
    ∴E（0，1）；
    ②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），
    ∵F在抛物线上，
    ∴x-1=-x2+2x+3，
    解得x=
    1-
    		17
    2
    或x=
    1+
    		17
    2
    ，
    ∴E（
    1-
    		17
    2
    ，
    3-
    		17
    2
    ）或（
    1+
    		17
    2
    ，
    3+
    		17
    2
    ），
    综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）或（
    1-
    		17
    2
    ，
    3-
    		17
    2
    ）或（
    1+
    		17
    2
    ，
    3+
    		17
    2
    ）；

    （3）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）
    ∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）
    =-x2+x+2
    又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ
    =
    1
    2
    PQ•AG
    =
    1
    2
    （-x2+x+2）×3
    =-
    3
    2
    （x-
    1
    2
    ）2+
    27
    8
    ，
    ∴面积的最大值为
    27
    8
    ；
    方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
    设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）
    又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC
    =
    1
    2
    （x+1）（-x2+2x+3）+
    1
    2
    （-x2+2x+3+3）（2-x）-
    1
    2
    ×3×3
    =-
    3
    2
    x2+
    3
    2
    x+3
    =-
    3
    2
    （x-
    1
    2
    ）2+
    27
    8
    ，
    ∴△APC的面积的最大值为
    27
    8
    ．
    点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，三角形的面积，有一定难度．解答（2）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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