Question

10．如图，P₁、P₂是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限图象上的两点，点A₁的坐标为（4，0）．若△P₁OA₁与△P₂A₁A₂均为等腰直角三角形，其中点P₁、P₂为直角顶点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）①求P₂的坐标．
②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P₁、P₂的一次函数的函数值大于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数值．

Answer 1

分析 （1）先根据点A₁的坐标为（4，0），△P₁OA₁为等腰直角三角形，求得P₁的坐标，再代入反比例函数求解；（2）先根据△P₂A₁A₂为等腰直角三角形，将P₂的坐标设为（4+a，a），并代入反比例函数求得a的值，得到P₂的坐标；再根据P₁的横坐标和P₂的横坐标，判断x的取值范围．

解答 解：（1）过点P₁作P₁B⊥x轴，垂足为B
∵点A₁的坐标为（4，0），△P₁OA₁为等腰直角三角形
∴OB=2，P₁B=$\frac{1}{2}$OA₁=2
∴P₁的坐标为（2，2）
将P₁的坐标代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0），得k=2×2=4
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$
（2）①过点P₂作P₂C⊥x轴，垂足为C
∵△P₂A₁A₂为等腰直角三角形
∴P₂C=A₁C
设P₂C=A₁C=a，则P₂的坐标为（4+a，a）
将P₂的坐标代入反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$，得
a=$\frac{4}{4+a}$，解得a₁=$2\sqrt{2}-2$，a₂=$-2\sqrt{2}-2$（舍去）
∴P₂的坐标为（$2+2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}-2$）
②在第一象限内，当2＜x＜2+$2\sqrt{2}$时，一次函数的函数值大于反比例函数的值．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性质求得点P₁和P₂的坐标．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．