Question

已知△AOB，将△AOB绕O点旋转到△COD位置，使C点落在OB边上，连接AC、BD．
（1）若∠AOB=90°（如图1），小亮发现∠BAC=∠BDC，请你证明这个结论；
（2）若∠AOB=60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；
（3）若∠AOB为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；

Answer 1

（1）证明：∵将△AOB绕O点旋转到△COD位置，
∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，
∴∠BAC=∠BAO-∠CAO，∠BDC=∠DCO-∠DBO，
∴∠BAC=∠BDC．

（2）仍成立，
理由是：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，
∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△ACO、△OBD是等边三角形，
∴∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，
∴∠BAC=∠BAO-∠CAO=∠BAO-60°，∠BDC=∠DCO-∠DBO=∠DCO-60°，
∴∠BAC=∠BDC．

（3）仍成立，
理由是：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，
∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，
∴∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，
∵∠CAO+∠ACO+∠AOB=180°，∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°，
∴∠CAO=∠OBD，
∵∠BAC=∠BAO-∠CAO，∠BDC=∠DCO-∠DBO，
∵∠BAO=∠DCO，
∴∠BAC=∠BDC．
分析：（1）求出OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，根据等腰直角三角形求出∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，根据∠BAC=∠BAO-∠CAO和∠BDC=∠DCO-∠DBO即可求出答案；
（2）求出OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，得出△ACO、△OBD是等边三角形，推出∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，根据∠BAC=∠BAO-∠CAO和∠BDC=∠DCO-∠DBO求出即可；
（3）根据旋转求出OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，推出∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，求出∠CAO=∠OBD，根据∠BAC=∠BAO-∠CAO和∠BDC=∠DCO-∠DBO求出即可．
点评：本题综合考查了等腰直角三角形，三角形的内角和定理，等边三角形的旋转和判定，旋转的性质等知识点的应用，主要培养了学生综合运用性质进行推理的能力，此题具有一定的规律性，证明过程类似，本题是一道比较好的题目．